Kort om första träffen den 5 november 2012

Den 5 november 2012 hade vi vår första träff. Här gör jag en liten sammanfattning av vad som gicks igenom då. Grovt sett så gick vi igenom kapitel 1 i Adams bok, men med fokus på reella talens egenskaper och den allmänna gränsvärdesdefinitionen.
Utdelat material:
rekommenderade uppgifter
tecken i matematiken

  1. Kursformalia: kursbok, kontaktinformation, utdelning av ovanstående material.
  2. snabb översikt av innehållet i kursen. (kapitel 1-7 i Adams exakt vilka delavsnitt som ingår framgår av de rekommenderade uppgifterna)
  3. Definition av begreppet funktion:
  4. En funktion \(f:A\to B\) från mängden \(A\) till mängden \(B\) är en regel som till varje \(a\in A\) tilldelar exakt ett element \(b\in B\)

  5. Extraegenskaper för funktioner
  6. Jag gjorde en beskrivning av några ytterligare egenskaper vi kommer att behöva lägga på funktioner (främst i kapitel 3) Detta material finns mer nogrannt i videoföreläsning om injektiv, surjektiv och bijektiv

  7. Egenskaper för \(\mathbb{R}\)
    1. Utveckling av talsystemen från \(\mathbb{N}\) till \(\mathbb{Q}\)
    2. \(\mathbb{Q}\) har en massa hål. \(\mathbb{R}\) får man om hålen fylls igen
    3. Det gjordes en snabb skiss av hur man visar att \(\sqrt{2}\) inte är ett rationellt tal. \(\sqrt{2}\) är m.a.o. ett irrationellt tal. Om man täpper till alla sådana hål, lägger till alla irrationella tal till de rationella så får man de reella talen.

    4. Algebraiska egenskaper (våra vanliga räkneregler)
    5. \(\mathbb{R}\) är välordnad
    6. Välordnad innebär bland annat att varje rellt tal \(x\) kan relateras till varje annant tal \(y\): något av följande måste gälla:
      \[ x < y \quad x = y \quad x > y \].

    7. \(\mathbb{R}\) är ett kontinuum
    8. När vi skapat \(\mathbb{R}\) genom att fylla igen \(\mathbb{Q}\) så har vi en mängd utan hål som vi kan röra oss fram och tillbaka på ett kontinuerligt sätt.

  8. Gränsvärden för funktioner
  9. Den allmänna gränsvärdesdefinitionen gicks igenom (kapitel 1.5) En förenklad definition finns i kapitel 1.2

  10. Vänster och högergränsvärden
  11. Gränsvärdet existerar precis om höger och vänster gränsvärdena båda existerar och är lika.

  12. Kontinuerliga funktioner
  13. En funktion är kontinuerlig i en punkt \(a\) om funktionsvärdet i punkten är lika med gränsvärdet för funktionen då \(x\to a\).

  14. Exempel: ett ordentligt bevis för att funktionen \(f(x)=x^2\) är kontinuerlig i \(x=1\)
  15. I korthet visar man det så här: låt \(\epsilon >0\) vara godtyckligt liten.
    \[
    |f(x)-f(1)|=|\underbrace{x^2 – 1}_{=(x-1)(x+1)}|=|x-1|\underbrace{|x+1|}_{<10}=10|x-1|<\epsilon, \] förutsatt att vi valt \(\delta =\epsilon/10\). \(|x+1|<10\) är en grov uppskattning som utnyttjar att \(x\) ska närma sig \(1\) varför \(x+1\approx 2\) och definitivt mindre än 10.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.