funktion

Toggle view
Om funktionsbegreppet och funktioners invers.

Om funktionsbegreppet och funktioners invers.

Detta dokument introducerar funktionsbegreppet och studerar också begreppen injektiv, surjektiv och bijektiv som hjälper oss att introducera det viktiga inversbegreppet.

Read more

Växande och avtagande funktioner har invers.

Växande och avtagande funktioner har invers.

En funktion som är växande (eller avtagande) på ett intervall har en invers på detta intervall. Detta används för att härleda inverserna till exponentialfunktionen (som är logaritmen) och inverserna till de trigonometriska funktionerna.

Read more

Glad, Sur och Mr Poker: minnesregler för klassificering av kritiska punkter.

Glad, Sur och Mr Poker: minnesregler för klassificering av kritiska punkter.

Andra derivatan kan ofta användas för att avgöra om den kritiska punkten för en funktion är ett max eller ett min.

Read more

minilecture 3 :: Sammansättning av funktioner.">minilecture 3 :: Sammansättning av funktioner.

Det finns flera sätt att skapa nya funktioner från gamla. Vi kan göra det med addition/subtraktion:
\[
(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)
\]
Vi kan göra det med multiplikation:
\[
(fg)(x) =f(x)\cdot g(x)
\]
och vi kan göra det med division
\[
\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
\]
Sedan kan vi skapa nya funktioner genom att sätta in en funktion i en annan funktion.
\[(\sin x)^2=\sin^2 x \quad\text{ och }\quad \sin x^2\]
är två varianter av detta där vi satt samman \(\sin x\) och \( x^2 \).

Det är detta sistnämnda sätt att bilda nya funktioner som vi kallar funktionssammansättning och som följande video handlar om.



I kapitel 2 ska vi lära oss derivera funktioner som är konstruerade enligt alla ovanstående metoder. Derivering av sammansättning görs med den så kallade kedjeregeln och brukar vara den som är svårast att bemästra. Nyckeln till denna deriveringsregel ligger i förståelsen för vad sammansättning innebär.

minilecture 2 :: Fyra varianter av kvadratfunktionen">minilecture 2 :: Fyra varianter av kvadratfunktionen

När vi tittade på funktionsdefinitionen så såg vi att definitions och värdemängderna är viktiga delar av en funktion.
I denna miniföreläsning så ges fyra varianter av funktionen \(x^2\) som alla skiljer sig från varandra när det gäller definitionsmängderna. Exemplen pekar framåt också genom att ge en första förklaring om inversfunktion. Man kan förstå att för att en funktion ska ha en invers så kan behöva begränsa funktionen på olika sätt. Detta kommer vi tillbaka till mer ingående i kapitel 3 av Adams då vi studerar bland annat de inversa trigonometriska funktionerna.

minilecture 1 :: Funktionsbegreppet"><span class="mini">minilecture 1 ::</span> Funktionsbegreppet

minilecture 1 :: Funktionsbegreppet">minilecture 1 :: Funktionsbegreppet

Funktionsbegreppet är ett av de viktigaste och mest fundamentala matematiska begreppen.

Här tittar vi på funktionsbegreppets definition men vi ska ett par gånger under kursens gång återkomma till det för att fördjupa förståelsen för funktionsbegreppet för att få en inblick i hur man sätter samman funktioner och vad som menas med vändbarhet och invers.

Definition:: funktion

En funktion \(f:A\to B\), från en mängd \(A\) till en annan mängd \(B\) är en regel som

1. till varje element \(a\in A\) tilldelar
2. exakt ett element \(f(a)=b\in B\).

Mängden \(A\) kallar vi för definitionsmängden och \(B\) för målmängden eller värdeförrådet. Den del av värdeförrådet som består av element \(b\) med \(b=f(a)\) för något tal \(a\in A\) kallas för funktionens värdemängd och skrivs \(f(A)\).

Följande video tittar närmre på begreppet:



Om begreppet funktion kan man läsa i Adams prelimnariekapitel P.4 (funktionens definition) och P.5 (t.ex. om styckvist definierade funktioner). Funktionsbegreppet ingår visserligen i gymnasiematematiken men det är en väldigt bra startpunkt för vår kurs i envariabelanalys eftersom en hel del av kursen hänger på förståelsen av detta begrepp.