invers

Toggle view
Om funktionsbegreppet och funktioners invers.

Om funktionsbegreppet och funktioners invers.

Detta dokument introducerar funktionsbegreppet och studerar också begreppen injektiv, surjektiv och bijektiv som hjälper oss att introducera det viktiga inversbegreppet.

Read more

Växande och avtagande funktioner har invers.

Växande och avtagande funktioner har invers.

En funktion som är växande (eller avtagande) på ett intervall har en invers på detta intervall. Detta används för att härleda inverserna till exponentialfunktionen (som är logaritmen) och inverserna till de trigonometriska funktionerna.

Read more

Adams uppgift 3.5.13 och 3.5.15

Adams uppgift 3.5.13 och 3.5.15

Uppgifterna 13 och 15 brukar uppfattas som lite krångliga. I följande dokument visas ett trick som hjälper oss att hitta samband mellan de olika inversa trigonometriska funktionerna. Idén är att utgå från en rätvinklig triangel.

Adams-3.5.13o15

minilecture 17 Fyra varianter av \(x^2\) igen…">minilecture 17 Fyra varianter av \(x^2\) igen…

Vi såg i minilecture 2 att kvadratfunktionen kunde betraktas på olika sätt genom att variera dess definitions och målmängder. I denna föreläsning återvänder vi till dessa exempel för att se hur våra nya begrepp injektiv, surjektiv och bijektiv är kopplade till dessa. Dessa exempel ger oss ett mer realistiskt exempel som är direkt kopplat till innehållet i denna kurs. Idéerna från denna föreläsning som koncentreras till satsen som beskrivs i andra videon använder vi sedan i de två följande föreläsningarna om logaritmen, exponentialfunktionen och de inversa trigonometriska funktionerna \(\arcsin x\), \(\arccos x\) och \(\arctan x\).

I första föreläsningsvideon går vi genom de fyra varianterna av \(x^2\) och hur de skiljer sig åt ifråga om injektivitet, surjektivitet och bijektivitet.

I den andra videon går vi genom en sats som säger att en funktion har en invers på ett intervall om den är växande eller avtagande på intervallet:


Extra material ::
increasingInverse

minilecture 16 Begreppet invers.">minilecture 16 Begreppet invers.

I denna föreläsning så går vi igenom de extra villkor som behöver ställas på en funktion för att funktionen ska ha en invers.
Vi börjar med att repetera funktionsbegreppet och förklara varför detta inte är tillräckligt. För att funktionen ska ha invers så krävs att funktionen är både injektiv och surjektiv, dvs att funktionen är bijektiv. Det är dessa begrepp som denna föreläsning om. I Adams används andra benämningar av dessa begrepp vilket vi översätter enligt:

  • Injektiv \(\leftrightarrow\) “1-1″, “ett-till-ett”, “one-to-one”
  • Surjektiv \(\leftrightarrow\) “på”, “onto”
  • Bijektiv \(\leftrightarrow\) “1-1 korrespondens”, “one-to-one correspondence”

I första videon diskuteras funktionsdefinitionen och vad som behövs för att för att funktionen ska ha invers. Idén om våra tre nya begrepp introduceras.

I den andra videon så går vi igenom de tre bereppen, injektiv, surjektiv och bijektiv i mer detalj. Begreppen illustreras med “bussexemplen”.

Extra material ::
Föreläsningsanteckningar om funktionsbegreppet.