mini lecture

Toggle view

minilecture 22 Grafritning allmänt.">minilecture 22 Grafritning allmänt.

I denna föreläsning så går vi översiktligt genom de viktigaste sakerna man behöver räkna ut när man ska rita en graf.

När man ska rita en graf för hand så är det i regel jobbigt att räkna ut funktionens värden. Det är därför viktigt att de värden man väljer att räkna ut verkligen säger något viktigt om funktionen. I denna föreläsning går vi genom de viktigaste saker man ska tänka på vid grafritning.

I den första videon så nämner vi att det är viktigt att beräkna extrempunkter (maximum och minimum), singulära punkter och inflexionspunkter.
Det indikeras också hur vi med asymptoter kan ange hur grafen närmar sig oändligheter

I den andra videon ligger fokus på hur funktionen växer och avtar och hur den böjer sig. Det viktiga ligger i hur man i teckenstudium anger de intervall där tillväxt och krökning inträffar.


Extramaterial ::
Här är en pdf som sammanfattar det viktigaste inom grafritning. Det kompletterar Adams kapitel 4.6::
grafritning_mk3

I följande dokument så gås andraderivatatestet igenom med min egen förenklade terminologi. Om ni jämför med Adams Theorem 10 i kapitel 4.5 så ser ni att jag lägger in tolkningarna “sur mun”, “glad mun” och “mr Poker” till tecknet på andra derivatan. Jag tycker detta ger en klarare känsla till hur kurvorna ser ut när andra derivatan är positiv (positiv=glad \(\Rightarrow\) “glad mun”) och motsvarande för en negativ derivata (negativ = sur …)
En viktig sak är dock att när andraderivan är noll så kan ingenting utläsas (vi stirrar i ansiktet på “mr Poker” och ser ingenting). I alla fall: i följande pdf-fil så sammanställer jag detta:
GladSur_och_MrPoker

minilecture 17 Fyra varianter av \(x^2\) igen…">minilecture 17 Fyra varianter av \(x^2\) igen…

Vi såg i minilecture 2 att kvadratfunktionen kunde betraktas på olika sätt genom att variera dess definitions och målmängder. I denna föreläsning återvänder vi till dessa exempel för att se hur våra nya begrepp injektiv, surjektiv och bijektiv är kopplade till dessa. Dessa exempel ger oss ett mer realistiskt exempel som är direkt kopplat till innehållet i denna kurs. Idéerna från denna föreläsning som koncentreras till satsen som beskrivs i andra videon använder vi sedan i de två följande föreläsningarna om logaritmen, exponentialfunktionen och de inversa trigonometriska funktionerna \(\arcsin x\), \(\arccos x\) och \(\arctan x\).

I första föreläsningsvideon går vi genom de fyra varianterna av \(x^2\) och hur de skiljer sig åt ifråga om injektivitet, surjektivitet och bijektivitet.

I den andra videon går vi genom en sats som säger att en funktion har en invers på ett intervall om den är växande eller avtagande på intervallet:


Extra material ::
increasingInverse

minilecture 16 Begreppet invers.">minilecture 16 Begreppet invers.

I denna föreläsning så går vi igenom de extra villkor som behöver ställas på en funktion för att funktionen ska ha en invers.
Vi börjar med att repetera funktionsbegreppet och förklara varför detta inte är tillräckligt. För att funktionen ska ha invers så krävs att funktionen är både injektiv och surjektiv, dvs att funktionen är bijektiv. Det är dessa begrepp som denna föreläsning om. I Adams används andra benämningar av dessa begrepp vilket vi översätter enligt:

  • Injektiv \(\leftrightarrow\) “1-1″, “ett-till-ett”, “one-to-one”
  • Surjektiv \(\leftrightarrow\) “på”, “onto”
  • Bijektiv \(\leftrightarrow\) “1-1 korrespondens”, “one-to-one correspondence”

I första videon diskuteras funktionsdefinitionen och vad som behövs för att för att funktionen ska ha invers. Idén om våra tre nya begrepp introduceras.

I den andra videon så går vi igenom de tre bereppen, injektiv, surjektiv och bijektiv i mer detalj. Begreppen illustreras med “bussexemplen”.

Extra material ::
Föreläsningsanteckningar om funktionsbegreppet.

minilecture :: 9 Gränsvärdesexempel sin 1/x">minilecture :: 9 Gränsvärdesexempel sin 1/x

I den här föreläsningen studeras gränsvärdet för en speciell funktion
\[
f(x)=\sin\frac{1}{x}, \qquad x\to 0
\]

Eftersom \(1/x\) blir oändligt stor då \(x\to 0\) så kommer \(\sin\) gå genom alla sina svängningar innan \(x\) når fram till noll. Grafen till funktionen ser ut som följer

Bilden är ritad med hjälp av följande Mathematica-fil: sin1-genom-x

I följande video så förklaras vad som händer med funktionsvärdena då x går mot noll.

minilecture 3 :: Sammansättning av funktioner.">minilecture 3 :: Sammansättning av funktioner.

Det finns flera sätt att skapa nya funktioner från gamla. Vi kan göra det med addition/subtraktion:
\[
(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)
\]
Vi kan göra det med multiplikation:
\[
(fg)(x) =f(x)\cdot g(x)
\]
och vi kan göra det med division
\[
\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
\]
Sedan kan vi skapa nya funktioner genom att sätta in en funktion i en annan funktion.
\[(\sin x)^2=\sin^2 x \quad\text{ och }\quad \sin x^2\]
är två varianter av detta där vi satt samman \(\sin x\) och \( x^2 \).

Det är detta sistnämnda sätt att bilda nya funktioner som vi kallar funktionssammansättning och som följande video handlar om.



I kapitel 2 ska vi lära oss derivera funktioner som är konstruerade enligt alla ovanstående metoder. Derivering av sammansättning görs med den så kallade kedjeregeln och brukar vara den som är svårast att bemästra. Nyckeln till denna deriveringsregel ligger i förståelsen för vad sammansättning innebär.

minilecture 2 :: Fyra varianter av kvadratfunktionen">minilecture 2 :: Fyra varianter av kvadratfunktionen

När vi tittade på funktionsdefinitionen så såg vi att definitions och värdemängderna är viktiga delar av en funktion.
I denna miniföreläsning så ges fyra varianter av funktionen \(x^2\) som alla skiljer sig från varandra när det gäller definitionsmängderna. Exemplen pekar framåt också genom att ge en första förklaring om inversfunktion. Man kan förstå att för att en funktion ska ha en invers så kan behöva begränsa funktionen på olika sätt. Detta kommer vi tillbaka till mer ingående i kapitel 3 av Adams då vi studerar bland annat de inversa trigonometriska funktionerna.

minilecture 1 :: Funktionsbegreppet"><span class="mini">minilecture 1 ::</span> Funktionsbegreppet

minilecture 1 :: Funktionsbegreppet">minilecture 1 :: Funktionsbegreppet

Funktionsbegreppet är ett av de viktigaste och mest fundamentala matematiska begreppen.

Här tittar vi på funktionsbegreppets definition men vi ska ett par gånger under kursens gång återkomma till det för att fördjupa förståelsen för funktionsbegreppet för att få en inblick i hur man sätter samman funktioner och vad som menas med vändbarhet och invers.

Definition:: funktion

En funktion \(f:A\to B\), från en mängd \(A\) till en annan mängd \(B\) är en regel som

1. till varje element \(a\in A\) tilldelar
2. exakt ett element \(f(a)=b\in B\).

Mängden \(A\) kallar vi för definitionsmängden och \(B\) för målmängden eller värdeförrådet. Den del av värdeförrådet som består av element \(b\) med \(b=f(a)\) för något tal \(a\in A\) kallas för funktionens värdemängd och skrivs \(f(A)\).

Följande video tittar närmre på begreppet:



Om begreppet funktion kan man läsa i Adams prelimnariekapitel P.4 (funktionens definition) och P.5 (t.ex. om styckvist definierade funktioner). Funktionsbegreppet ingår visserligen i gymnasiematematiken men det är en väldigt bra startpunkt för vår kurs i envariabelanalys eftersom en hel del av kursen hänger på förståelsen av detta begrepp.