veckoplaner

Toggle view

Datorlabb om masscentrumberäkning.

Här är kursens datorlaboration som handlar om masscentrumberäkning.
Som ni kan se från instruktionerna så handlar labben om att rita grafen till två funktioner, ta reda på vilka två ändliga områden som dessa båda definierar.
Givet en densitetsfunktion så ska man sedan beräkna masscentrum för dessa två ändliga områden. Sedan ska allt ritas upp i en figur.

Deadline :: Lämna in labben innan sommaren är över. Typ 25 augusti, men helst tidigare. Jag rekommenderar dock att ni gör den i samband med era tentamensförberedelser, vare sig ni gör ordinarie tentamen nu den 13 juni eller i samband med omtentan den 24 augusti.

Här är labben::masscentrum-labb

Här är två dokument om masscentrum::CenterOfMass_grafderivationOfCenterOfMass

Veckoplanering för vecka 9

Adams edition 7, kapitel 7

Läsanvisningar till kapitel 7 i Adams edition 7

I detta kapitel tittar vi på några tillämpningarna av integrering

Uppgifter till kapitel 7 ::

7.1: 1, 5, 7, 21
7.2: 1, 3, 9
7.4: 1, 3, 9, 15, 16
7.5: 1, 3, 13

Kapitel 7.1 :: Den förhärskande principen för volymsberäkningar är att man kan kan dela in en volym i många små delar (ofta skivor). I denna sektion studeras volymer som bildas när grafen till en funktion roteras kring antingen x-axeln eller y-axeln. Vi har två viktiga indelningsmetoder: skivmetoden och cylindriska-skal-metoden. Dessa båda kompletterar varandra och fungerar vid vissa situationer som vi i detta kapitel lär oss att identifiera.

Kapitel 7.2 ::

När vi har andra typer av volymer än rotationsvolymer får man hitta på andra principer för indelning i skivor. Detta studeras i denna sektion.

Kapitel 7.3 :: Hoppas över

Kapitel 7.4 ::

Detta avsnitt introducerar en intressant och viktig tillämpning av integralen. Här lär vi oss hur man beräknar masscentrum för fysiska kroppar något som är extremt viktigt inom mekaniken.

Kapitel 7.5 ::

Detta kapitel knyter an till kapitel 7.4. Om man har en kropp med homogen densitet så är masscentrum och centroid (geometrisk tyngdpunkt) samma sak. Det finns några exempel i detta avsnitt som kan vara bra att titta på.

Kapitel 7.6-7.9 :: Hoppas över.

Extra material::
Här är ett dokument där vi härleder formler för masscentrumberäkning::
derivationOfCenterOfMass

I följande dokument visas hur man beräknar masscentrum för ett område som begränsas av två grafer.
CenterOfMass_graf

Veckoplanering för vecka 8.

I denna vecka tittar vi på några integrationstekniker. Vi fokuserar oss på partiell integration och partialbråksuppdelning

Läsanvisningar till kapitel 6 i Adams edition 7
Uppgifter till kapitel 6 ::

6.1: 1, 3, 5, 7, 9, 21, 23
6.2: 1, 3, 5, 7, 9, 21, 23
6.4: 5, 9, 11
6.5: 3, 11, 46

Kapitel 6.1 ::

Partiell integration. Denna teknik hjälper oss i situationer där vi ska integrera en produkt. Det visar sig att man kan integrera den ena och derivera den andra och sätta sammen dem på ett visst sätt. På så sätt kan man integrera vissa uttryck där den ena funktionen har en väldigt komlicerad primitiv funktion. Ett viktigt exempel är exempel 2a där vi ska integrera den naturliga logaritmen.

Kapitel 6.2 ::

Här integrerar vi rationella funktioner. Föruom varianter av integraler av 1/x(s. 365) så är partialbråksuppdelning (Eng: partial fractions) viktiga. Studera exemplen noga och försök lösa egna uppgifter.

Kapitel 6.3 :: Vi hoppar över detta avsnitt

Kapitel 6.4 ::
Här studerar man exempel 4 och 5 som visar hur man kan beräkna en integral genom att använda integrationstabell (På insidan av den bakre pärmen har ni
ett antal integrationsformler och det är dessa som det är tänkt att man ska använda. Det finns också integrationstabeller i olika matematiska formelsamlingar.)

Kapitel 6.5 ::

Generaliserade integraler (=Eng: improper integrals) är integraler där en integrationsgräns typiskt är oändligheten, eller är ett tal som gör att integranden blir obegränsad. Dessa kalls typ I respektive typ II (se def 1 och 2 s. 361-362) Theorem 2 s. 363 visar på en viktig klass generaliserade integraler. Begreppen konvergens och divergens skall förstås. Thm 3 är ett jämförelsekriterium som kan hjälpa till att avgöra konvergens och divergens genom att man jämför med någon känd integral.

Kapitel 6.6 – 6.8 :: Handlar om numerisk integration och hoppas över.

Extra material ::
Följande dokument kompletterar kursbokens presentation. Formeln
\[
\int f(x)g(x) dx = f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx
\]
ligger närmare det man vanligen träffar på i praktiken.

partiell-integration

I nästa dokument så går vi genom partialbråksuppdelning och handpåläggningsmetoden som är viktig när vi behöver integrera rationella funktioner
där nämnarfunktionen kan skrivas som en produkt av förstagradsfaktorer som hör ihop med olika nollställen:
Ett exempel på en sådan rationell funktion är
\[
R_1(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}
\]
och nämnarfunktionen är en produkt av tre förstagradsfaktorer vars nollställen är olika.
handpalaggningsmetoden

I följande exempel så visas två rationella funktioner som inte kan skrivas som ovan stående rationella funktion:
\[
R_2(x)=\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\qquad\text{ och } R_3(x)=\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+5)}
\]
Där vi noterar att nämnaren till \(R_2\) har ett dubbelt nollställe och att nämnaren till \(R_3(x)\) har ickereella nollställen \(x=-1\pm 2i\)
I dessa fall fungerar inte handpåläggning fullt ut, utan här behöver man göra på annat sätt. Det är detta som följande dokument ämnar att beskriva::

partialfractions

Veckoplanering för vecka 7.

Under studievecka 7 börjar vi arbeta med integrering. Det viktiga är att behärska Integralkalkylens fundamentalsats i kapitel 5.5 samt substitutionsmetoden i kapitel 5.6. Det finns även andra saker som är nyttiga att jobba med. T.ex. så är summationsnotationen som introduceras i 5.1 viktig i all matematik och här har ni chansen att lära er grunderna.

Läsanvisningar till kapitel 5 i Adams edition.

Uppgifter till kapitel 5 ::

5.1: 1, 3, 7, 11, 17, 23
5.4: 1, 3, 5, 11, 37
5.5: 1, 3, 11, 19, 23, 27, 29, 41, 45
5.6: 1, 3, 7, 9, 11,19, 21
5.7: 1, 3, 7, 11, 13

De tre första sektionerna läser ni ganska översiktligt och försöker på så sätt komma fram till räknereglerna i kapitel 5.4 snabbt.

Kapitel 5.1 ::

Här repeterar man summationsnotation. Man behöver inte läsa detta jättenoga utan man kan komma tillbaka till kapitlet när det behövs. Se dock till att ni bekantar er med innehållet så att ni känner igen det senare.

Kapitel 5.2 ::

Här betraktar vi areor genom att uppdela och summera mindre delar på ett systematiskt sätt. Detta är ett steg i att förstå integralens egenskaper och komma in i ett tänkande som är nyttigt vid integrering. Notera hur en förfining av rektanglarna leder till en bättre areauppskattning (s. 295 och fig. 5.5.) Denna förfining leder direkt fram till integralbegreppet via ett gränsvärdesförfarande. Detta tar man upp i nästa sektion.

Kapitel 5.3 ::

Här görs de nödvändiga sakerna för att definiera den bestämda integralen (För en noggrannare diskussion kan man vända sig till appendix om Riemannintegralen) Notera översummor, undersummor och förfiningar och att integralen är instängd mellan över och undersummor, samt notera definitionen av integrerbarhet. Allmänna Riemannsummor är som över och undersummor förutom att höjden på rektanglarna kan beräknas i en inre punkt isället för ändpunkter av de intervall som utgör vår indelning. Theorem 2 visar en sak vi kan tro på: att kontinuerliga funktioner är integrabla

Kapitel 5.4 ::

Detta är ett viktigt kapitel eftersom det härleder och går genom integralens grundläggande räkneegenskaper. Dessa måste alla kunna använda vid praktiska integralberäkningar. Medelvärdesatsen är det nyttigt att förstå, eftersom den formulerar en känsla för vad det innbär att flytta om areabitar. Ibland kan man se en integrals värde genom en sådan omflyttning! Funktioner som är kontinuerliga förutom i ett ändligt antal punkter kallas styckvis kontinuerliga funktioner och sådana funktioner kan integreras.

Kapitel 5.5 ::

Integralkalkylens fundamental sats formaliserar kopplingen mellan derivering och integrering; att integralen är omvändningen av derivering. Samtidigt ger den ett mycket användbart sätt att beräkna integraler: Integralen för en funktion beräknas genom att man hittar en primitiv funktion (deriverar baklänges) som sedan beräknas i intervallets ändpunkter (Thm 5 part ii). Notera skrivsättet i definition 6, vi kommer använda det jämt. Här är exemplen viktiga och att man tränar sig ordentligt med uppgifterna.

Kapitel 5.6 ::

Substitutionsmetoden kan ses som en sorts omvändning till kedjeregeln för derivering. Principen går ut på att man har kedjeregeln nära tillhands och försöker se uttrycket man ska derivera som resultatet av derivatan till en sammansatt funktion. Man försöker således hitta den inre derivatan som man då utnyttjar för att göra en substitution. Man får då ofta en mycket enklare integral att lösa. Substitutionsmetoden är en av våra tre huvudtekniker som behövs för att praktiskt kunna beräkna en integra. Exemplen och övningsräkning är “a och o”.

Kapitel 5.7 ::

Areor av plana områden är ju vad integralen konstruerats för att beräkna, varför det är relevant att lära sig detta material.

Taylorapproximation av sinus

Här är en Mathematicafil som studerar Taylorapproximation av \(\sin x\) kring origo. Om ni har Mathematica installerat på er dator så är det bara att klicka på länken så får ni upp den i webbläsaren, där ni kan köra animationen t.ex. Därifrån kan ni sedan spara filen eller öppna den i Mathematica så att ni bättre kan experimentera.

Den här filen ger exempel på hur man kan animera i Mathematica och också hur man kan tabellplotta, men framförallt så ser ni hur man kan beräkna Taylorpolynomen på ett enkelt sätt med hjälp av kommandona Series och Normal ::

TayorAvSinus

minilecture 22 Grafritning allmänt.">minilecture 22 Grafritning allmänt.

I denna föreläsning så går vi översiktligt genom de viktigaste sakerna man behöver räkna ut när man ska rita en graf.

När man ska rita en graf för hand så är det i regel jobbigt att räkna ut funktionens värden. Det är därför viktigt att de värden man väljer att räkna ut verkligen säger något viktigt om funktionen. I denna föreläsning går vi genom de viktigaste saker man ska tänka på vid grafritning.

I den första videon så nämner vi att det är viktigt att beräkna extrempunkter (maximum och minimum), singulära punkter och inflexionspunkter.
Det indikeras också hur vi med asymptoter kan ange hur grafen närmar sig oändligheter

I den andra videon ligger fokus på hur funktionen växer och avtar och hur den böjer sig. Det viktiga ligger i hur man i teckenstudium anger de intervall där tillväxt och krökning inträffar.


Extramaterial ::
Här är en pdf som sammanfattar det viktigaste inom grafritning. Det kompletterar Adams kapitel 4.6::
grafritning_mk3

I följande dokument så gås andraderivatatestet igenom med min egen förenklade terminologi. Om ni jämför med Adams Theorem 10 i kapitel 4.5 så ser ni att jag lägger in tolkningarna “sur mun”, “glad mun” och “mr Poker” till tecknet på andra derivatan. Jag tycker detta ger en klarare känsla till hur kurvorna ser ut när andra derivatan är positiv (positiv=glad \(\Rightarrow\) “glad mun”) och motsvarande för en negativ derivata (negativ = sur …)
En viktig sak är dock att när andraderivan är noll så kan ingenting utläsas (vi stirrar i ansiktet på “mr Poker” och ser ingenting). I alla fall: i följande pdf-fil så sammanställer jag detta:
GladSur_och_MrPoker

Veckoplanering för veckorna 5 och 6

Under veckorna 5 och 6 så är det rekommenderat att arbeta med kapitel 4 i Adams. Kapitlet handlar om olika tillämpningsområden på derivata. För oss så ska vi koncentrera oss på

  1. Extremvärden, dvs maximum och minimum för funktioner, konkavitetsinformation (grafernas krökning) och hur vi kan använda denna information för att rita grafer till funktioner :: kapitel 4.4-4.6, som vi bör koncentrera oss på under vecka 5.
  2. Taylorapproximation, dvs att approximera funktioner med polynom :: kapitel 4.9-4.10, som vi jobbar med under vecka 6.

För en funktion så tillhör punkter där vi har ett maximum eller ett minimum bland de viktigaste eftersom det säger något viktigt om funktionen. Sådana punkter söker man helst ut i situationer där man vill optimera något, vilket ofta är betydelsefullt.
Taylorapproximation handlar om att jämföra funktionerna med polynom. Polynom är enklare att studera och lättare att få en känsla för hur de beter sig. Genom att säga att en komplicerad funktion beter sig som ett visst polynom så har man en enklare bild på hur vår komplicerade funktion beter sig. Om vi tittar tillbaka på miniföreläsningarna till kapitel 1 och 2 så har vi redan tjuvstartat och använt Taylorutveckling för några speciella ändamål. Vi utvecklade t.ex. \(\sin x\) mha Taylorutveckling när vi studerade gränsvärdet \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\).
När vi jobbat genom materialet för vecka 6 så har vi kommit så långt att vi kan förklara denna utveckling.

Läsanvisningar till kapitel 4 i Edition 7

Uppgifter till kapitel 4 ::

4.4: 1,3, 5, 11, 13, 19, 21, 25, 35, 45
4.5: 1, 3, 5, 9, 15, 17, 21, 25, 29
4.6: 1, 5, 33, 35
4.8: 1, 3, 7, 9, 17, 19, 26, 29, 38, 46
4.9: 1, 3, 7, 11, 15, 17, 31
4.10: 1, 3, 5, 14, 15, 17

Kapitel 4.1 ::

Relaterade hastigheter. Vi skummar bara detta kapitel. Läs gärna den blågröna rutan på sid 215 och kolla in något exempel.

Kapitel 4.2 ::

Hoppar vi över. Dock viktigt för den som är intresserad av numerisk matematik.

Kapitel 4.3 ::

L´Hopitals regler är användbara och enkla att använda för att bestämma gränsvärden av vissa typer. Den som vill läsa mer läser gärna detta avsnitt, men ingår inte formellt i kursen

Kapitel 4.4 ::

Extremvärden till funktioner. Definition av lokala (Def. 2) och globala (=absoluta) (Def. 1) extrempunkter max resp. minpunkter. Thm 5 skall förstås: här är det viktigt att intervallet är slutet, konstruera gärna ett exempel som visar detta. Vad som menas med kritiska, singulära och ändpunkter skall förstås och hur dessa kommer in när vi försöker hitta extremvärden, vilket Thm 6 säger något om. Thm 7: “första derivata testet” skall kunna användas. Metoden där man ställer upp f och f’ och dess värden i en tabell skall tränas på. Detta kompletteras sedan när vi börjar titta på andra derivatan i nästa sektion.

Kapitel 4.5 ::

Genom att få en uppfattning om en grafs krökning eller konkavitet (def 3) så kan man få en bättre bild av hur grafen ser ut. Speciellt viktigt är att veta var en sådan kröknings struktur växlar tecken; från att varit konkav till att bli konvex. I detta avsnitt lär vi oss att vi finner sådana inflexionspunkter (def 4) där andraderivatan blir noll(andra derivatatestet Thm 9 och Thm 10. Tillsammatns med föregående sektion ger detta oss ett effektivare verktyg för att rita grafer till funktioner, vilket vi koncentrera oss på i nästa sektion.

Kapitel 4.6 ::

Grafritning. Nytt begrepp här är asymptot som visar hur en funktion beter sig nära oändligheten eller nära en singulär punkt. Annars så rekommenderas att titta på exemplen och att träna på att lösa uppgifter.

Kapitel 4.7 ::

Intressant kapitel för er som gillar numerisk matematik. Ger exempel på hur räkning på miniräknare och datorer ibland kan bli fel och ger en förklaring varför. Detta är ett nytt kapitel och finns bara i edition 7. Ingår dock inte i kursen.

Kapitel 4.8 ::

Här går man genom ett antal problem som kan visa på extremvärdesmetodernas användning för att lösa problem ur verkligheten. Titta på exemplen och försök fantisera fram liknande problemställningar. Träna genom att lösa uppgifter.

Kapitel 4.9 ::

En av derivatans viktigare tolkningar är att man med den kan göra linjär approximation av en given funktion, vilket är ett användbart sätt att förenkla en funktion lokalt.

Kapitel 4.10 ::

Den linjära approximationen är den enklaste approximationen med Taylorpolynom. Genom att approximera med Taylorpolynom av högre grad kan man hitta en approximation som ger ett mindre fel i ett större intervall. Genom att öka gradtalet kan man hitta en godtyckligt fin approximation. Om vår funktion är oändligt deriverbar kan man under ytterligare förutsättningar hitta en serie (oändligt långt polynom) som precis blir lika med funktionen.

Kapitel 4.11 ::

Även detta är ett nytt avsnitt som bara finns i edition 7. Avsnitten handlar om hur representation av tal i datorer kan ge fel och sensmoralen är att
det är endast våra matematiska kunskaper som gör att vi kan bli medvetna om detta och göra de nödvändiga korrigeringarna som ger oss bättre resultat. Kapitlet ingår
inte i kursen men läses gärna ändå av er som är intresserad av numerisk matematik.

Veckoplanering för vecka 4

Under vecka 4 rekommenderas att man arbetar med kapitel 3. Detta kapitel introducerar begreppet invers funktion och genom detta så skapar vi ett antal nya funktioner: \( e^x\) och dess invers \(\ln x\) samt de inversa trigonometriska funktionerna \(\arcsin x\), \(\arccos x\) och \(\arctan x\). Alla dessa funktioner och deras derivator finns med på listan över de funktioner som man bör kunna utantill på tentan.

Uppgifter till kapitel 3 ::

3.1: 1, 3, 5, 21, 23
3.2: 1, 5
3.3: 1, 5, 9, 11, 19, 25, 29, 43, 55, 58, 61, 65
3.5: 1, 2, 3, 13, 15, 19, 25, 33, 45

Kapitel 3.1 ::

Definition 1: “one-to-one” (=injektiv=“ett-till-ett”) skall kunna användas. Definition 2: invers funktion skall förstås och kunna användas. Exempel är viktiga att arbeta med, se till att ni använder flera exempel för att förstå dessa definitioner. Om en funktion inte är injektiv (tänk på t.ex. x^2 eller sin x) så kan man ofta skapa sig en injektiv funktion genom att inskränka definitionsmängden. Detta är nyckeln till att förstå hur roten ur x, arcsin, arccos och arctan bildas. Slutligen ska ni kunna beräkna derivatan till en invers funktion mha derivata för den ursprungliga funktionen.

Kapitel 3.2 ::

Detta kapitel är till stor del en repetition av saker från Gymnasiematematiken. Många av er är dock säkert inte helt hundra på alla räkneregler här så ni kan kan snabbt titta genom reglerna och försöka räkna några uppgifter på egen hand. Det är viktigt dock att komma vidare till nästa sektion.
Kapitel 3.3 ::

I detta kapitel definieras två av de allra viktigaste funktionerna i den grundläggande matematiken, nämligen den naturliga logaritmen och dess invers exponentialfunktionen. Dessa funktioner ska ni kunna jobba med obehindrat och känna att de är era allra bästa vännder. Logaritmen konstrueras som arean under den högra grafen till 1/x. Ni har ju nog stött på begreppet primitiv funktion (“det som en funktion är innan man deriverat”) och lärt er hur man hittar primitiv funktion 1/x^m. Detta följer ett mönster men om m=1 så fungerar detta inte. Det är då man försöker konstruera den primitiva funktionen till 1/x på ett annat sätt via arean under grafen som man får fram den naturliga logaritmen (Def 6). I Theorem 1, s 174. visas att den naturliga logaritmen verkligen är en primitiv funktion till 1/x. Man härleder även några elementära räkneregler för ln x.
Den naturliga logaritmen är en växande funktion (varför?) och har därför en invers. Denna invers kallas för exponentialfunktionen och ur detta härleds ett antal viktiga egenskaper som ni naturligtvis ska lära er!

Kapitel 3.4 :: Hoppas över, nämns i korthet när vi tar upp egenskaper för exponentialfunktionen.

Kapitel 3.5 ::

Här går vi genom inverserna till de trigonometriska funktionerna. Notera i definition 8 och 10 hur man minskar definitionsmängderna för att få en injektiv funktion. De definitionsmängdsbegränsade funktionerna har således inverser – och det är dessa inverser vi kallar för de inversa trigonometriska funktionerna. För cosinus väljer Adams en annan väg via en vinkelidentitet för att skapa arccos. Man kan också, vilket jag tycker är enklare, starta med Cos x som är lika med cos x förutom att dess definitionsområde är [0,Pi]. arccos är då definierad som inversen till Cos x.
Sekantfunktionerna hoppar vi över, Nordamerikaner har av okänd anledning en stor kärlek till dessa sekantfunktionerna, vilket vi i Sverige inte har. Det skadar dock inte att notera definitionen av sec x =1/cos x och csc x =1/sin x.

Kapitel 3.6 och 3.7 :: Hoppas över.

Veckoplanering för Vecka 3

Under vecka 3 behöver vi jobba färdigt kapitel 2. Kedjeregeln är den sista deriveringsregeln och är viktig att behärska. Den är också viktig att förstå när vi senare i kursen ska integrera. När vi integrerar med substitution i kapitel 5.6 så handlar det om att göra kedjeregeln baklänges. Baklängesderivering är över huvud taget principen vid integrering och kapitel 2.10 så kallar man detta för antiderivata och är alltså viktigt att studera.
Vi har även några specialsaker som man skulle kunna ägna mycket tid åt. När det är beräkningsteknik så är implicit derivering i 2.9 en sådan och när det gäller teori så är det medelvärdessatsen i 2.8. Jobba med uppgifterna i dessa avsnitt och gå sedan vidare.

Uppgifter till kapitel 2 ::

2.1: 1, 3
2.2: 1, 3, 5, 35, 37
2.3: 1, 5, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 33

2.4: 1, 5, 7, 11, 21, 31, 33
2.5: 3, 5, 7, 9, 15, 17, 23, 29, 31, 45
2.6: 1, 3, 5, 7, 9, 11
2.7: 15, 31, 35
2.9: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17
2.10: 1, 3, 5, 13, 14, 15,

I Kapitel 2.4 :: Kejeregeln är nog den viktigaste räkneregeln och som man lättast gör fel på. Kejeregeln hjälper oss att derivera sammansatta funktioner f(g(x)). Derivatan av denna innehåller derivatan av den inre funktionen g. Denna derivata kallas för den inre derivatan. Ett vanligt deriveringsfel som ni bör undvika kan sammanfattas med följande interjektion: “aj som satan, glömde inre derivatan”, som många studenter uttalat efter tentamina.

Kapitel 2.5 :: Här härleds derivatorna till de trigonometriska funktionerna, vilka många av er redan känner till.

Kapitel 2.6 :: Högre ordningens derivator; derivatan av derivatan osv. Tolkningar av andraderivatan t.ex. är accelleration. Även krökning av kurvor har med andraderivatan att göra. Andraderivatan anger hur förstaderivatan förändras och har betydelse, som vi ska se för kurvritning och för att klassificera kritiska punkter. Tredjederivatan kan ges liknande tolkningar men används i mycket mindre grad.

Kapitel 2.7 :: Vi kommer inte använda derivatan i så väldigt många sammanhang så detta kapitel kommer vi att ta lätt på. Ett viktigt begrepp definieras dock, kritisk punkt punkt där derivatan är noll.

Kapitel 2.8 ::) Medelvärdesatsen är en av de viktigare satserna i matematisk analys och används i många sammanhang. Vi ska dock inte fördjupa oss så väldigt mycket i den.

Kapitel 2.9 :: Implicit derivering med avseende på x innebär att man deriverar en funktion som inte är explicit given som funktion av x. Detta är användbart i många situationer.
Typexemplet (se exempel 2) är att man vill hitta en tangentlinje till en cirkel. Genom att derivera implicit så slipper man lösa ut y som funktion av x (som då skulle involvera ett komplicerat rotuttryck) och deriveringen blir också enklare (eftersom vi slipper derivera en sammansatt funktion som involverar en rotfunktion.)

Kapitel 2.10 :: Antiderivatan, viktig i samband med integration, är omvändningen till derivering dvs att göra en derivering ogjord; vi får en funktion f(x) i handen och frågar
oss vilken funktion som f(x) är derivatan av…

Kapitel 2.11 :: Handlar om hastighet och accelleration, två viktiga tillämpningsområden för derivatan. Vi hoppar dock över detta avsnitt.

Veckoplanering för Vecka 2

Under vecka 2 så är det viktigaste att komma igång och lära sig alla deriveringsregler.
Kapitlet börjar dock med utvecklingen av derivatabegreppet som ett gränsvärde. Detta är viktigt för att man ska förstå vad derivata är för något. Men det viktigaste är att lära sig att derivera ordentligt. Vi har fyra deriveringsregler som alla ska lära sig behärska: additionsregeln, produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln. Här är det bara att köra på och derivera, men det kan nog ta sin tid och jag har satt en vecka ungefär på det. Jag har i denna vecka inkluderat 2.4 om kedjeregeln men jag har märkt att vissa kan behöva ägna något mer tid åt kedjeregeln. Därför har jag i dessa veckoplaner lagt kapitel 2.4 under två veckor.

Uppgifter till kapitel 2 ::

2.1: 1, 3
2.2: 1, 3, 5, 35, 37
2.3: 1, 5, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 33
2.4: 1, 5, 7, 11, 21, 31, 33
2.5: 3, 5, 7, 9, 15, 17, 23, 29, 31, 45
2.6: 1, 3, 5, 7, 9, 11
2.7: 15, 31, 35
2.9: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17
2.10: 1, 3, 5, 13, 14, 15,

Kapitel 2.1 :: Lutning för tangentlinjer till en funktions graf är grundidén till begreppet derivata.

Kapitel 2.2 :: Begreppet derivata definieras, några deriveringsregler härleds och Leibnitz notation införs.

Kapitel 2.3 :: Viktigt kapitel om deriveringsregler. Det här är något som alla ska behärska: derivata av summa, produkt och kvot. På detta avsnitt har ni många uppgifter att öva på.

Kapitel 2.4 :: Kedjeregeln är nog den viktigaste räkneregeln och som man lättast gör fel på. Kejeregeln hjälper oss att derivera sammansatta funktioner f(g(x)). Derivatan av denna innehåller derivatan av den inre funktionen g. Denna derivata kallas för den inre derivatan. Ett vanligt deriveringsfel som ni bör undvika kan sammanfattas med följande interjektion: “aj som satan, glömde inre derivatan”, som många studenter uttalat efter tentamina.