vecka 4

Toggle view

Veckoplanering för vecka 4

Under vecka 4 rekommenderas att man arbetar med kapitel 3. Detta kapitel introducerar begreppet invers funktion och genom detta så skapar vi ett antal nya funktioner: \( e^x\) och dess invers \(\ln x\) samt de inversa trigonometriska funktionerna \(\arcsin x\), \(\arccos x\) och \(\arctan x\). Alla dessa funktioner och deras derivator finns med på listan över de funktioner som man bör kunna utantill på tentan.

Uppgifter till kapitel 3 ::

3.1: 1, 3, 5, 21, 23
3.2: 1, 5
3.3: 1, 5, 9, 11, 19, 25, 29, 43, 55, 58, 61, 65
3.5: 1, 2, 3, 13, 15, 19, 25, 33, 45

Kapitel 3.1 ::

Definition 1: “one-to-one” (=injektiv=“ett-till-ett”) skall kunna användas. Definition 2: invers funktion skall förstås och kunna användas. Exempel är viktiga att arbeta med, se till att ni använder flera exempel för att förstå dessa definitioner. Om en funktion inte är injektiv (tänk på t.ex. x^2 eller sin x) så kan man ofta skapa sig en injektiv funktion genom att inskränka definitionsmängden. Detta är nyckeln till att förstå hur roten ur x, arcsin, arccos och arctan bildas. Slutligen ska ni kunna beräkna derivatan till en invers funktion mha derivata för den ursprungliga funktionen.

Kapitel 3.2 ::

Detta kapitel är till stor del en repetition av saker från Gymnasiematematiken. Många av er är dock säkert inte helt hundra på alla räkneregler här så ni kan kan snabbt titta genom reglerna och försöka räkna några uppgifter på egen hand. Det är viktigt dock att komma vidare till nästa sektion.
Kapitel 3.3 ::

I detta kapitel definieras två av de allra viktigaste funktionerna i den grundläggande matematiken, nämligen den naturliga logaritmen och dess invers exponentialfunktionen. Dessa funktioner ska ni kunna jobba med obehindrat och känna att de är era allra bästa vännder. Logaritmen konstrueras som arean under den högra grafen till 1/x. Ni har ju nog stött på begreppet primitiv funktion (“det som en funktion är innan man deriverat”) och lärt er hur man hittar primitiv funktion 1/x^m. Detta följer ett mönster men om m=1 så fungerar detta inte. Det är då man försöker konstruera den primitiva funktionen till 1/x på ett annat sätt via arean under grafen som man får fram den naturliga logaritmen (Def 6). I Theorem 1, s 174. visas att den naturliga logaritmen verkligen är en primitiv funktion till 1/x. Man härleder även några elementära räkneregler för ln x.
Den naturliga logaritmen är en växande funktion (varför?) och har därför en invers. Denna invers kallas för exponentialfunktionen och ur detta härleds ett antal viktiga egenskaper som ni naturligtvis ska lära er!

Kapitel 3.4 :: Hoppas över, nämns i korthet när vi tar upp egenskaper för exponentialfunktionen.

Kapitel 3.5 ::

Här går vi genom inverserna till de trigonometriska funktionerna. Notera i definition 8 och 10 hur man minskar definitionsmängderna för att få en injektiv funktion. De definitionsmängdsbegränsade funktionerna har således inverser – och det är dessa inverser vi kallar för de inversa trigonometriska funktionerna. För cosinus väljer Adams en annan väg via en vinkelidentitet för att skapa arccos. Man kan också, vilket jag tycker är enklare, starta med Cos x som är lika med cos x förutom att dess definitionsområde är [0,Pi]. arccos är då definierad som inversen till Cos x.
Sekantfunktionerna hoppar vi över, Nordamerikaner har av okänd anledning en stor kärlek till dessa sekantfunktionerna, vilket vi i Sverige inte har. Det skadar dock inte att notera definitionen av sec x =1/cos x och csc x =1/sin x.

Kapitel 3.6 och 3.7 :: Hoppas över.