vecka 6

Toggle view

Taylorapproximation av sinus

Här är en Mathematicafil som studerar Taylorapproximation av \(\sin x\) kring origo. Om ni har Mathematica installerat på er dator så är det bara att klicka på länken så får ni upp den i webbläsaren, där ni kan köra animationen t.ex. Därifrån kan ni sedan spara filen eller öppna den i Mathematica så att ni bättre kan experimentera.

Den här filen ger exempel på hur man kan animera i Mathematica och också hur man kan tabellplotta, men framförallt så ser ni hur man kan beräkna Taylorpolynomen på ett enkelt sätt med hjälp av kommandona Series och Normal ::

TayorAvSinus

Veckoplanering för veckorna 5 och 6

Under veckorna 5 och 6 så är det rekommenderat att arbeta med kapitel 4 i Adams. Kapitlet handlar om olika tillämpningsområden på derivata. För oss så ska vi koncentrera oss på

  1. Extremvärden, dvs maximum och minimum för funktioner, konkavitetsinformation (grafernas krökning) och hur vi kan använda denna information för att rita grafer till funktioner :: kapitel 4.4-4.6, som vi bör koncentrera oss på under vecka 5.
  2. Taylorapproximation, dvs att approximera funktioner med polynom :: kapitel 4.9-4.10, som vi jobbar med under vecka 6.

För en funktion så tillhör punkter där vi har ett maximum eller ett minimum bland de viktigaste eftersom det säger något viktigt om funktionen. Sådana punkter söker man helst ut i situationer där man vill optimera något, vilket ofta är betydelsefullt.
Taylorapproximation handlar om att jämföra funktionerna med polynom. Polynom är enklare att studera och lättare att få en känsla för hur de beter sig. Genom att säga att en komplicerad funktion beter sig som ett visst polynom så har man en enklare bild på hur vår komplicerade funktion beter sig. Om vi tittar tillbaka på miniföreläsningarna till kapitel 1 och 2 så har vi redan tjuvstartat och använt Taylorutveckling för några speciella ändamål. Vi utvecklade t.ex. \(\sin x\) mha Taylorutveckling när vi studerade gränsvärdet \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\).
När vi jobbat genom materialet för vecka 6 så har vi kommit så långt att vi kan förklara denna utveckling.

Läsanvisningar till kapitel 4 i Edition 7

Uppgifter till kapitel 4 ::

4.4: 1,3, 5, 11, 13, 19, 21, 25, 35, 45
4.5: 1, 3, 5, 9, 15, 17, 21, 25, 29
4.6: 1, 5, 33, 35
4.8: 1, 3, 7, 9, 17, 19, 26, 29, 38, 46
4.9: 1, 3, 7, 11, 15, 17, 31
4.10: 1, 3, 5, 14, 15, 17

Kapitel 4.1 ::

Relaterade hastigheter. Vi skummar bara detta kapitel. Läs gärna den blågröna rutan på sid 215 och kolla in något exempel.

Kapitel 4.2 ::

Hoppar vi över. Dock viktigt för den som är intresserad av numerisk matematik.

Kapitel 4.3 ::

L´Hopitals regler är användbara och enkla att använda för att bestämma gränsvärden av vissa typer. Den som vill läsa mer läser gärna detta avsnitt, men ingår inte formellt i kursen

Kapitel 4.4 ::

Extremvärden till funktioner. Definition av lokala (Def. 2) och globala (=absoluta) (Def. 1) extrempunkter max resp. minpunkter. Thm 5 skall förstås: här är det viktigt att intervallet är slutet, konstruera gärna ett exempel som visar detta. Vad som menas med kritiska, singulära och ändpunkter skall förstås och hur dessa kommer in när vi försöker hitta extremvärden, vilket Thm 6 säger något om. Thm 7: “första derivata testet” skall kunna användas. Metoden där man ställer upp f och f’ och dess värden i en tabell skall tränas på. Detta kompletteras sedan när vi börjar titta på andra derivatan i nästa sektion.

Kapitel 4.5 ::

Genom att få en uppfattning om en grafs krökning eller konkavitet (def 3) så kan man få en bättre bild av hur grafen ser ut. Speciellt viktigt är att veta var en sådan kröknings struktur växlar tecken; från att varit konkav till att bli konvex. I detta avsnitt lär vi oss att vi finner sådana inflexionspunkter (def 4) där andraderivatan blir noll(andra derivatatestet Thm 9 och Thm 10. Tillsammatns med föregående sektion ger detta oss ett effektivare verktyg för att rita grafer till funktioner, vilket vi koncentrera oss på i nästa sektion.

Kapitel 4.6 ::

Grafritning. Nytt begrepp här är asymptot som visar hur en funktion beter sig nära oändligheten eller nära en singulär punkt. Annars så rekommenderas att titta på exemplen och att träna på att lösa uppgifter.

Kapitel 4.7 ::

Intressant kapitel för er som gillar numerisk matematik. Ger exempel på hur räkning på miniräknare och datorer ibland kan bli fel och ger en förklaring varför. Detta är ett nytt kapitel och finns bara i edition 7. Ingår dock inte i kursen.

Kapitel 4.8 ::

Här går man genom ett antal problem som kan visa på extremvärdesmetodernas användning för att lösa problem ur verkligheten. Titta på exemplen och försök fantisera fram liknande problemställningar. Träna genom att lösa uppgifter.

Kapitel 4.9 ::

En av derivatans viktigare tolkningar är att man med den kan göra linjär approximation av en given funktion, vilket är ett användbart sätt att förenkla en funktion lokalt.

Kapitel 4.10 ::

Den linjära approximationen är den enklaste approximationen med Taylorpolynom. Genom att approximera med Taylorpolynom av högre grad kan man hitta en approximation som ger ett mindre fel i ett större intervall. Genom att öka gradtalet kan man hitta en godtyckligt fin approximation. Om vår funktion är oändligt deriverbar kan man under ytterligare förutsättningar hitta en serie (oändligt långt polynom) som precis blir lika med funktionen.

Kapitel 4.11 ::

Även detta är ett nytt avsnitt som bara finns i edition 7. Avsnitten handlar om hur representation av tal i datorer kan ge fel och sensmoralen är att
det är endast våra matematiska kunskaper som gör att vi kan bli medvetna om detta och göra de nödvändiga korrigeringarna som ger oss bättre resultat. Kapitlet ingår
inte i kursen men läses gärna ändå av er som är intresserad av numerisk matematik.