vecka 7

Toggle view

Veckoplanering för vecka 7.

Under studievecka 7 börjar vi arbeta med integrering. Det viktiga är att behärska Integralkalkylens fundamentalsats i kapitel 5.5 samt substitutionsmetoden i kapitel 5.6. Det finns även andra saker som är nyttiga att jobba med. T.ex. så är summationsnotationen som introduceras i 5.1 viktig i all matematik och här har ni chansen att lära er grunderna.

Läsanvisningar till kapitel 5 i Adams edition.

Uppgifter till kapitel 5 ::

5.1: 1, 3, 7, 11, 17, 23
5.4: 1, 3, 5, 11, 37
5.5: 1, 3, 11, 19, 23, 27, 29, 41, 45
5.6: 1, 3, 7, 9, 11,19, 21
5.7: 1, 3, 7, 11, 13

De tre första sektionerna läser ni ganska översiktligt och försöker på så sätt komma fram till räknereglerna i kapitel 5.4 snabbt.

Kapitel 5.1 ::

Här repeterar man summationsnotation. Man behöver inte läsa detta jättenoga utan man kan komma tillbaka till kapitlet när det behövs. Se dock till att ni bekantar er med innehållet så att ni känner igen det senare.

Kapitel 5.2 ::

Här betraktar vi areor genom att uppdela och summera mindre delar på ett systematiskt sätt. Detta är ett steg i att förstå integralens egenskaper och komma in i ett tänkande som är nyttigt vid integrering. Notera hur en förfining av rektanglarna leder till en bättre areauppskattning (s. 295 och fig. 5.5.) Denna förfining leder direkt fram till integralbegreppet via ett gränsvärdesförfarande. Detta tar man upp i nästa sektion.

Kapitel 5.3 ::

Här görs de nödvändiga sakerna för att definiera den bestämda integralen (För en noggrannare diskussion kan man vända sig till appendix om Riemannintegralen) Notera översummor, undersummor och förfiningar och att integralen är instängd mellan över och undersummor, samt notera definitionen av integrerbarhet. Allmänna Riemannsummor är som över och undersummor förutom att höjden på rektanglarna kan beräknas i en inre punkt isället för ändpunkter av de intervall som utgör vår indelning. Theorem 2 visar en sak vi kan tro på: att kontinuerliga funktioner är integrabla

Kapitel 5.4 ::

Detta är ett viktigt kapitel eftersom det härleder och går genom integralens grundläggande räkneegenskaper. Dessa måste alla kunna använda vid praktiska integralberäkningar. Medelvärdesatsen är det nyttigt att förstå, eftersom den formulerar en känsla för vad det innbär att flytta om areabitar. Ibland kan man se en integrals värde genom en sådan omflyttning! Funktioner som är kontinuerliga förutom i ett ändligt antal punkter kallas styckvis kontinuerliga funktioner och sådana funktioner kan integreras.

Kapitel 5.5 ::

Integralkalkylens fundamental sats formaliserar kopplingen mellan derivering och integrering; att integralen är omvändningen av derivering. Samtidigt ger den ett mycket användbart sätt att beräkna integraler: Integralen för en funktion beräknas genom att man hittar en primitiv funktion (deriverar baklänges) som sedan beräknas i intervallets ändpunkter (Thm 5 part ii). Notera skrivsättet i definition 6, vi kommer använda det jämt. Här är exemplen viktiga och att man tränar sig ordentligt med uppgifterna.

Kapitel 5.6 ::

Substitutionsmetoden kan ses som en sorts omvändning till kedjeregeln för derivering. Principen går ut på att man har kedjeregeln nära tillhands och försöker se uttrycket man ska derivera som resultatet av derivatan till en sammansatt funktion. Man försöker således hitta den inre derivatan som man då utnyttjar för att göra en substitution. Man får då ofta en mycket enklare integral att lösa. Substitutionsmetoden är en av våra tre huvudtekniker som behövs för att praktiskt kunna beräkna en integra. Exemplen och övningsräkning är “a och o”.

Kapitel 5.7 ::

Areor av plana områden är ju vad integralen konstruerats för att beräkna, varför det är relevant att lära sig detta material.