Föreläsning 11 :: Härledning av derivatan för ett monom.

Ett monom är ett uttryck på formen
\[
x^n,
\]
där \(n\) är ett heltal
\(x\), \(x^2\), \(x^{5}\) är tre exempel på monom. Om man bildar en linjär kombination av flera monom får man ett polynom. Med andra ord så är
\[
p(x)=x^4+3x^3+5x^2+2x+5
\]
ett exempel på ett fjärdegradspolynom. Polynom är nog ett av de viktigaste exempel på funktioner i matematiken. T.ex. så kan polynom också användas för att approximera funktioner som \(\sin x\) som inte är ett polynom, vilket är bra för att polynom är mycket enklare att beräkna än sinus funktionen. (När vi trycker \(\sin 23°\) på miniräknaren så är det faktiskt ett polynom som beräknas.)
Att approximera med polynom kommer vi studera i detalj i kapitel 4:: Taylorapproximation.

I denna miniföreläsning ska vi härleda formeln för hur man beräknar derivatan av ett monom. Vi ska alltså visa följande formel:
\[
\frac{d}{dx} x^n=nx^{n-1}
\]
vilket vi alltså kan se i följande video:

I videon så visas dock inte att formeln faktiskt gäller i större allmänhet, dvs
\[
\frac{d}{dx} x^a=ax^{a-1},
\]
där \(a\) är ett godtyckligt reellt tal. Denna formel blir användbar om vi tex ska derivera rotfunktionen \(\sqrt{x}\) som ju kan skrivas som \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Genom att använda ovanstående formel får vi
\[
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx} x^{1/2}=(1/2)x^{-1/2}=\frac{1}{2x^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.