Föreläsning 12 :: Härledning av derivatan till sinus

I denna video härleds derivatan till \(\sin x\), dvs::
\[
\frac{d}{dx}\sin x =\cos x
\]

I härledningen får vi nytta av det gränsvärde som vi beräknade i miniföreläsning 8. Dessutom så bevisas följande gränsvärde
\[
\lim_{x\to 0} \frac{cos x -1}{x} =0
\]
på ett liknande sätt genom att uttnyttja Taylorutvecklingen av \(\cos x\) som är
\[
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\text{ högre ordningens termer }
\]
Det här är något vi kommer tillbaka till i kapitel 4.

3 Comments

  • tfk12btr - 2014 05 07

    hej. hur kan sinh/h bli 1??

  • admin - 2014 05 08

    Man måste ta gränsvärdet då \(h\to 0\) för att få ett, dvs

    \[
    \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} =1
    \]

    Detta är inte alldeles lätt att visa men du kan läsa det i Adams bok kapitel 2.5 (theorem 8).

    Om man kan och förstår Taylorapproximation (Adams kap 4.10) (och den så kallade “Big O”, stora O notationen,) så kan man skriva

    \[
    \sin x = x+ O(x^3)
    \]

    Man får då
    \[
    \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h+O(h^3)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h}{h}+\underbrace{\frac{O(h^3)}{h}}_{=O(h^2)\to\ noll,\ h\to 0}=1
    \]

    Om man plottar funktionen \(\frac{\sin x}{x}\) så är det inte svårt att se att detta gränsvärde måste gälla:

  • tfk12btr - 2014 05 08

    Tack så jätte mycket :)

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.