Föreläsning 18 :: \(\ln x\) versus \(e^x\)

Denna föreläsning börjar med att definiera logaritmen som en area under grafen till funktionen \(\frac{1}{x}\).
Denna area är, som vi kommer att se i kapitel 5 av Adams) integralen av funktionen \(\frac{1}{x}\). Om ni tycker detta är svårt att följa så gör det inte så mycket eftersom vi kommer att gå genom integraler noggrannt senare i kursen och då kommer denna konstruktion att kännas mer naturlig. För att visa att logaritmen är växande så deriveras integralen vilket då ger att
\[\frac{d}{dx}\ln x= \frac{d}{dx}{\displaystyle\int_1^x} \frac{dt}{t}= \frac{1}{x}\]
Detta är nog inte alldeles självklart men är en av utsagorna av den viktiga satsen Integralkalkylens fundamentalsats som vi ska gå genom i kapitel 5. Här använder vi resultatet snabbt så att vi kan motivera att logaritmen har en invers. Denna invers är exponentialfunktionen, vilket är vad vi vill visa med första videon:

I den andra videon härleder vi derivatan till exponentialfunktionen genom att bl.a. använda oss av implicit derivering


Extra material ::

implicitDerivering
increasingInverse

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.