Föreläsning 24 :: Linjär approximation.

Linjär approximation är första ordningens Taylorapproximation och introducerar alla väsentliga idéer om approximation för vår envariabelanalyskurs. Linjär approximation går ut på att anväda tangentlinjen för en funktions graf till att beräkna närmevärden för funktionen.

Räta linjen för grafen till funktionen \(f(x)\) ges av
\[
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
\]

När vi ersätter \(f(x)\) med \(L(x)\) så uppstår ett fel som vi behöver ha kontroll över. Allt detta diskuteras i följande videor.

I första videon så härleder vi den linjär approximationen::

Sedan fortsätter vi med ett exempel där vi beräknar en approximation till \(\sqrt{8}\)::

I nästa video fortsätter vi exemplet med att visa hur vi jobbar för att beräkna approximationsfelet. Här gör vi en uppskattning av feltermen
\[
E(x)=\frac{f”(s)}{2} (x-a)^2,
\]
där \(s\) är ett tal som ligger mellan \(a\) och \(x\). (se även Theorem 11 på sidan 269 i Adams Ed7).

I den sista videon så diskuterar vi hur vi kan förbättra approximationen. Detta leder till att vi behöver utveckla högre ordningens Taylorapproximation, vilket vi reder ut något mer ordentligt i nästa föreläsning.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.