Föreläsning 29 :: Integration av rationella funktioner.

Vår tredje och sista integrationsmetod Partialbråksuppdelning är en metod för att integrera rationella funktioner.
En rationell funktion \(r(x)\) är en funktion som är en kvot mellan två polynom \(p_n(x)\) och \(q_m(x)\)
\[
r(x)=\frac{p_n(x)}{q_m(x)}dx.
\]

För att undvika behovet av polynomdivision så antar vi att täljarpolynomets gradtal \(n\) är mindre än nämnarpolynomets gradtal \(m\), dvs \(n
I det första exemplet så tittar vi på den allra enklaste situationer där nämnarpolynomet faktoriseras i olika förstagradsfaktorer. Det som gör det enkelt är att man kan beräkna partialbråksuppdelningens koeffecienter med den så kallade handpåläggningsmetoden (se gärna det angivna extramaterialet nedan)

varning: i följande video ska nämnarpolynomet vara \(x^2+2x^2-x-2\) som då faktoriseras på det sättet som videon visar.
Nollställena till nämnarpolynomet \(x^2+2x^2-x+2\) redovisas i en kommentar nedan…

I den sista videon i denna föreläsning så går vi genom de fyra fall som kan inträffa då vi har en rationell funktion där nämnarpolynomet är av grad 3.
För ett reellt tredjegradspolynom gäller allmänt att det kan faktoriseras i tre faktorer mha dess nollställen som vi kan kalla för \(a, b\) och \(c\). Vi har då
\[q_3(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\]

Fall 1::
\(a\), \(b\) och \(c\) är tre olika reella tal.
Fall 2::
Uppstår om två av nollställena är lika, tex om \(a=b\neq c\). Då har \(Q_3\) ett dubbelt nollställe i \(x=a\) och ett enkelt i \(c\)
Fall 3::
Uppstår om alla tre nollställena är lika, dvs om \(a=b= c\). Då har \(Q_3\) ett trippelt nollställe i \(x=a\).
Fall 4::
Uppstår om två av nollställena (t.ex. \(b\) och \(c\) är ickereella. Eftersom \(Q_3\) antas vara reellt så bildar dessa två ickereella nollställen ett s.k. konjugerat par \(\alpha\pm i\beta\). Ett sådant par är nolltällen till ett reellt andragradspolynom. Detta ger alltså att när vi multiplicear ihop de två ickereella faktorerna så får vi \[(x-b)(x-c)=x^2+px+q,\text{ där } p=2\alpha, \text{ och } q=\alpha^2+\beta^2\] vilket alltså ger att
\[Q_3(x)=(x-a)(x^2+px+q)\]


Extramaterial ::
I följande dokument beskrivs handpåläggningsmetoden och varför den fungerar:
handpalaggningsmetoden

I nästa dokument så ges exempel på hur man arbetar med situationer där vissa koeffecienter inte kan beräknas med handpåläggning.
partialfractions

2 Comments

  • tfk12btr - 2014 05 16

    Hej!
    i Video 2, när du försöker och bli av med konstanten 2 du tog (-+1) och (-+2) och du sa att det ger noll i polynomet, det gör inte det. man får tal hela tiden.

    Med vänliga hälsningar

    // Jovan

  • admin - 2014 05 17

    Tack för att du upptäckte problemet.

    Problemet är att jag skrivit fel polynom från början. Konstanttermen ska vara -2 (inte +2)

    Så, om man låtsas att nämnarpolynomet i videon är \(x^3+2x^2-x-2\) så ska resten funka.

    Polynomet \(x^3+2x^2-x+2\) har komplicerade nollställen som nog är omöjliga att hitta för hand:
    Mathematica ger nollställena
    \[
    x_1=\frac{1}{3} \left(-\sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}-\frac{7}{\sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}}-2\right)\approx -2.65897
    \]
    \[
    \begin{split}
    x_2&=\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}-\frac{2}{3}+\frac{7 \left(1+i \sqrt{3}\right)}{6 \sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}}\\
    &\approx 0.329484\, +0.802255 i
    \end{split}
    \]
    \[
    \begin{split}
    x_3&=\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}-\frac{2}{3}+\frac{7 \left(1-i \sqrt{3}\right)}{6 \sqrt[3]{44-3 \sqrt{177}}}\\&\approx0.329484\, -0.802255 i
    \end{split}
    \]
    och som sagt: tack för att du upptäckte detta. jag behöver lite återkoppling från er studenter för att materialet ska bli bättre!
    mvh:-)

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.