Föreläsning 26 :: Introduktion till integrering.

I den här föreläsningen introducerar vi den bestämda integralen
\[
\int_a^b f(x)dx
\]
Den kallas bestämd när vi har konkreta gränser \(a\) och \( b\).

Om vi har en obestämd integral, dvs där inga gränser är preciserade, så menar vi att vi söker alla primitiva funktioner till den givna funktionen. Den obestämda integralen skrivs utan gränser:
\[
\int f(x) dx
\]

I den första videon diskuteras hur integralen introduceras som summor av arean för delrektanglar. Denna integralprincip brukar kallas för Riemannintegralen, uppkallad efter den store 1800-tals matematikern Bernard Riemann (1826-1866)

I videon nämns Bonaventura Cavalieri som levde på 1600-talet (1598-1647), inte 1400 talet som jag skrev på föreläsningen…

Integralkalkylens fundamentalsats säger dels att derivatan och integralen är varandras motsatser i den mening att derivering och integrering tar ut varandra. Den viktigaste delen för oss är dock den andra delen av satsen som säger hur man beräknar integralen genom att hitta primitiva funktioner. En primitiv funktion \(G(x)\) till funktionen \(f(x)\) har den egenskapen att \(G'(x)=f(x)\).
Om \(G(x)\) är en primitiv funktion till \( f(x)\) så säger integralkalkylens fundamentalsats att
\[
\int_a^b f(x)dx=G(b)-G(a),
\]
dvs vi använder primitiva funktioner för att beräkna integraler. Mycket av integrationsdelen av envariabelanalys handlar om metoder för att beräkna dessa primitiva funktioner.

I följande video går vi genom integralkalkylens fundamentalsats::

Extramaterial ::

Följande dokument om riemannintegralen användes i första videon ovan ::
Riemannsummor

2 Comments

  • tfk12btr - 2014 05 15

    Hej
    hur blev den primitiva funktionen för sinx (-cosx) i andra videon?

    Mvh
    //jovan

    • admin - 2014 05 15

      En primitiv funktion till en funktion \(f(x)\) är en funktion \(g(x)\) vars derivata är \(f(x)\)
      Dvs \(g\) är primitiv funktion till \(f\) om
      \[
      g'(x)=f(x)
      \]
      Vi har att \[\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\]

      \(-\cos x\) är primitiv funktion till \(\sin x\) helt enkelt för att
      \[\frac{d}{dx}-\cos x=\sin x\]

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.