Föreläsning 27 :: Substitutionsmetoden

Här går vi genom substitutionsmetoden som är den första av tre integrationsmetoderna i denna kurs. Integrering är ju derivering baklänges och substitutionsmetoden får vi genom att använda kedjeregeln “baklänges”.

Vi såg ju i miniföreläsning 26 att integralkalkylens fundamentalsats ger att integralen kan tolkas som derivering baklänges. Om man startar med derivering enligt kedjeregeln så blir integreringens motsvarighet substitutionsmetoden. Detta innebär att om man ska behärska substitutionsmetoden så är det nödvändigt att ha bra koll på kedjeregeln.

Det är också denna koppling: kedjeregeln <-> substitutionsmetoden som vi inleder introduktionen av substitutionsmetoden med:

Sedan behövs alldeles säkert ett antal exempel för att få bättre känsla för metoden::

I den sista videon i denna föreläsning så går vi genom en uppgift från Adams nämligen uppgift 5.6.11. Denna uppgift
får jag många frågor på. Det är nämligen ganska knepigt att komma på hur man ska skriva om integralen så att man kan göra en lämplig substitution.
I följande video nämner jag de hyperboliska funktionerna
\[
\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\quad\text{ och }\quad \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
\]
Dessa funktioner ingår visserligen inte i kursen men har ändå sin del av den matematiska historien och har betydelse för matematiska tillämpningar.
Som exempel kan nämnas att ett rep som hänger mellan två träd tex kan beskrivas med \(\cosh x\), vars graf visas i följande bild

grafen till cosinus hyperbolicus

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.